Benannt nach der Klosterstraße, der Straße am Grauen Kloster.
Die Straße erhielt ihren Namen nach dem Grauen Kloster der Franziskaner, die wegen der Farbe ihrer Kutten Graue Mönche hießen und das Grundstück hier 1271 geschenkt bekamen. Erhalten ist nur die Ruine der Klosterkirche. Bevor sich zu Beginn des 18. Jahrhunderts der Name Klosterstraße durchsetzte, hießen ihre Abschnitte etwa „Neben dem Grauen Kloster“.