Doit son nom à la Klosterstraße, la rue du Graues Kloster.
« Kloster » signifie couvent : la rue tient son nom du Graues Kloster (« couvent gris ») des franciscains, appelés moines gris à cause de la couleur de leur habit, qui reçurent ce terrain en 1271. Seule la ruine de son église subsiste. Avant que le nom Klosterstraße ne s’impose au début du 18e siècle, ses tronçons s’appelaient par exemple « Neben dem Grauen Kloster » (à côté du couvent gris).